解：
(1)
分式有意义，|x|≠0
x≠0，函数定义域为(-∞，0)U(0，+∞)，关于原点对称
f(-x)=-x+ a/|-x|=-x+ a/|x|
f(x)+f(-x)=x+ a/|x|-x+ a/|x|=2a/|x|，不恒为0，函数不是奇函数
f(x)-f(-x)=x+ a/|x| +x -a/|x|=2x，不恒为0，函数不是偶函数
函数是非奇非偶函数。
(2)
x∈[1，+∞)，x>0
f(x)=x+ a/x
f'(x)=1 -a/x²=(x²-a)/x²
要函数f(x)在区间[1，+∞)单调递增，f'(x)≥0
x²≥1>0，因此需x²-a≥0
a≤x²，要对[1，+∞)任意x，不等式恒成立
a≤1
a的取值范围为(-∞，1]
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