已知正实数a与b满足a+b=1,求1⼀a+2⼀b的最小值。

2025-05-23 12:41:16

推荐回答（2个）

回答（1）：

1/a+2/b
=(1/a+2/b)*1
=(1/a+2/b)(a+b)
=1+2+b/a+2a/b
=3+b/a+2a/b

a>0,b>0
由均值不等式
b/a+2a/b>=2√(b/a*2a/b)=2√2
当b/a=2a/b相等
b^2=2a^2
b=√2a
a+b=1,有符合a>0,b>0的解
所以可以取等号

所以1/a+2/b>=3+2√2
所以最小值=3+2√2

回答（2）：

根据柯西不等式
(a+b)(1/a+2/b)≥(√a*√(1/a)+√b*√(2/b)²=(1+1/√2)²=(3+2√2)/2

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