58问答库 > 已知直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：x2+y2-2x-4y-20=0．（1）求证：直线L过定点；（2）求直线L

已知直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，圆C：x2+y2-2x-4y-20=0．（1）求证：直线L过定点；（2）求直线L

2025-05-21 08:53:43

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回答（1）：

（1）直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，显然过直线2x+y-7=0 及直线x+y-4=0的交点A．
由

2x+y?7＝0

x+y?4＝ 0

解得交点A的坐标为（3，1），
故直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0经过定点A（3，1）．
（2）圆C：x²+y²-2x-4y-20=0 即（x-1）²+（y-2）²=25，表示以C（1，2）为圆心，以5为半径的圆．
设圆心C到直线L的距离为d，要使直线L被圆C截得的线段长度最小，需d最大．由题意可知，d的最大为CA线段的长度．
由两点间的距离公式可得 CA=

(3?1)2+(1?2)2

．
此时，CA和直线L垂直，斜率之积等于-1，
∴

1?2

3?1

?（?

2m+1

m+1

）=-1，解得 m=-

．