58问答库 > 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE 的外接圆．（

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，设⊙O是△BDE 的外接圆．（

2025-05-09 14:57:56

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回答（1）：

（1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是直径，点O是BE的中点，
∵∠C=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
又BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
则∠ODB+∠BDC=90°即∠ODC=90°
又∵OD是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线．（方法不唯一，参照给分）

（2）∵DE⊥DB，DE=2，BD=4，
∴ BE=2

，OE=

，
∴∠ABD=∠ADE，又∠A为公共角，
∴△ADB ∽ △AED，则有

，
∴AD=2AE，
在Rt△AOD中，AO² =OD² +AD² ，
即（

+AE）² =（

）² +（2AE）² ，
解得AE=

或AE=0（舍去），
所以AE=

．