已知各项均为正数的等比数列{an}的首项a1=2，Sn为其前n项和，若5S1，S3，3S2成等差数列．（1）求数列{an}

2025-01-23 09:08:22

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回答（1）：

（1）∵5S₁，S₃，3S₂成等差数列，
∴2S₃=5S₁+3S₂…（1分）
即2（a₁+a₁q+a₁q²）=5a₁+3（a₁+a₁q），
化简得 2q²-q-6=0…（2分）
解得：q=2或q=-

…（3分）
因为数列{a_n}的各项均为正数，所以q=-

不合题意…（4分）
所以{a_n}的通项公式为：a_n=2ⁿ．…（5分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log22n=n…（6分）
∴c_n=

bnbn+1

n(n+1)

n+1

…（7分）
∴T_n=1-

+…+

n+1

=1?

n+1

…（8分）
∵

n+1

≤k（n+4）
∴k≥

(n+1)(n+4)

n2+5n+4

…（9分）
=

…-（11分）
∵n+

+5≥2

+5=9，当且仅当n=

，即n=2时等号成立------（12分）
∴