根据数列极限的定义证明

　　格式是固定的（教材上肯定有），依样画葫芦就是。
　　1）对任意 ε > 0，取 N = [1/ε] + 1，则对任意 n > N，有
　　　　| (3n+1)/(2n+1) - 3/2 | = 1/[2(2n+1)] < 1/n < ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)(3n+1)/(2n+1) = 3/2。
　　
　　2）对任意 ε > 0，取 N = [a/√ε] + 1，则对任意 n > N，有
　　　　| [√(n^2+a^2)]/n - 1 | = (a^2)/{n[√(n^2+a^2) + n]} < (a^2)/(n^2) < ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)[√(n^2+a^2)]/n = 1。

解：　对任意 ε > 0，取 N = [1/ε] + 1，则对任意 n > N，有
　　　　| (3n+1)/(2n+1) - 3/2 | = 1/[2(2n+1)] < 1/n < ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)(3n+1)/(2n+1) = 3/2。
　　
　　2）对任意 ε > 0，取 N = [a/√ε] + 1，则对任意 n > N，有
　　　　| [√(n^2+a^2)]/n - 1 | = (a^2)/{n[√(n^2+a^2) + n]} < (a^2)/(n^2) < ε，
依数列极限的定义，可知
　　　　lim(n→∞)[√(n^2+a^2)]/n = 1。