58问答库 > 已知函数f(x)=x（1+a|x|）设关于x的不等式f(x+a)<f（x）的解集为A若[-1⼀2，1⼀2]属于A，则实数a的取值范围

已知函数f(x)=x（1+a|x|）设关于x的不等式f(x+a)<f（x）的解集为A若[-1⼀2，1⼀2]属于A，则实数a的取值范围

2025-02-22 04:06:55

推荐回答（2个）

回答（1）：

F'(X)=2a|X|+1

当a>0时F'(x)>0,即f(x)单增

f(x+a)

当a<0时，

F(X)图像，为奇函数

因为 [-1/2，1/2]属于A

所以 -1/2《xo《1/2

有

x0+a》x1

x0《x2

x1=-x2

得x1《-1/2

X1《-1/2+a

x2》1/2

X2》1/2-A

有f"(x)=2 a|x|+1=0

得x1=1/2a,x2=-1/2a

带入求解

得a属于[（1-根号5）/2,0]

回答（2）：

定义域R关于原点对称,f(-x)=-x(1+a|x|)=-f(x),所以f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax^2+x,对称轴x=-1/2a,当a>0时,f(x)在(0,+∞)单调增,不成立,当a<0时,f(x)在(0,-1/2a)单调增,在(-1/2a,+∞)单调减，所以当x<0时，f(x)在(-∞,1/2a)单调减，在(1/2a,0)单调增，f(x+a)1/a,解得-√2