平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为 6 （1）求圆O的方程；

2025-05-15 22:23:38

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回答（1）：

（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=

，直线截圆所得的弦长为

，
∴圆O的半径r=

(

) 2 +(

) 2

，
则圆O的方程为x² +y² =2；
（2）设直线l的方程为

=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即

|ab|

a 2 + b 2

，
整理得：

a 2

b 2

，
则DE² =a² +b² =2（a² +b² ）?（

a 2

b 2

）=2（2+

b 2

a 2

b 2

）≥8，
当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l方程为x+y-2=0；
（3）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：
设存在斜率为2的直线m满足题意，
设直线m为y=2x+b，A（x₁ ，y₁ ），B（x₂ ，y₂ ），
联立圆与直线解析式得：

x 2 + y 2 =2

y=2x+b

，
消去y得：5x² +4bx+b² -2=0，
依题意得：x₁ +x₂ =-

，x₁ x₂ =

b 2 -2

，△＞0，
∵以AB为直径的圆经过原点，
∴

⊥

，∴x₁ x₂ +y₁ y₂ =0，
即x₁ x₂ +（2x₁ +b）（2x₂ +b）=5x₁ x₂ +2b（x₁ +x₂ ）+b² =5×

b 2 -2

+2b×（-

）+b² =0，
整理得：b² =5，
解得：b=±

，经检验△＞0，符合题意，
则存在斜率为2的直线m满足题意，直线m为：y=2x±

．