58问答库 > 已知x+y+z=3，且（x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0。求证：x，Y，z之中至少有一个等于1.

已知x+y+z=3，且（x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0。求证：x，Y，z之中至少有一个等于1.

2025-05-21 19:07:10

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回答（1）：

（x-1）+（y-1）+（z-1）=0且（x-1）^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0
令x-1=a y-1=b z-1=c
a+b+c=0
a^3+b^3+c^3=0
a^3+b^3+c^3-3abc=3abc
（a+b+c）1/2（（a-b）^2+（b-c）^2+（a-c）^2）=3abc
3abc=0
即（x-1）（y-1）（z-1）=0
x，Y，z之中至少有一个等于1.
得证
不会公式的话
a^3+b^3+c^3=0
即（a+b）【（a+b）^2-3ab】+c^3=0
（a+b）=-c
3abc=0