已知函数fx=ln(x＋1)＋kx^2(k∈R) (1)若函数y=fx在x=1处取得极大值，求k的值

已知函数f(x)=ln(x+1)+kx²(k∈R)； (1)若函数y=f(x)在x=1处取得极大值，求k的值；(2)x∈[0，+∞)，函数y=f(x)图像上的点在 x≥0，y-x≥0所表示的区域内，求k的取值范围；
(3)证明[m=1，n] ∑2/(2m-1)-ln(2n＋1)<2。
解：(1)。f '(x)=1/(x+1)+2kx；f '(1)=1/2+2k=0，故k=-1；f(x)=ln(x+1)-x²；
(2)。由于f(0)=0，故要使f(x)=ln(x+1)+kx²图像上的点落在由x≥0和直线y-x≥0所限定的区域内(即在由y轴的正向与直线y=x所限定的区域)，必须使f '(x)=1/(x+1)+2kx≥1，即在x≥0时不等式：
1/(x+1)+2kx-1=[1+2kx(x+1)-(x+1)]/(x+1)=[2kx²+(2k-1)x]/(x+1)=x(2kx+2k-1)/(x+1)≥0恒成立，也就是
要在x≥0的条件下，不等式g(x)=2kx+2k-1≥0恒成立；故由g(0)=2k-1≥0，得k≥1/2.这就是k的取值范围。
(3)[为醒目起见，把符号i改成了m],用归纳法证之：
当n=1，m=1时，2-ln3=0.9013<2，即不等式成立；
设当n=k时不等式[2+2/3+2/5+......+2/(2k-1)]-ln(2k+1)=2[1+1/3+1/5+.....+1/(2k-1)]-ln(2k+1)<2成立，
那么当n=k+1时，2[1+1/3+1/5+......+1/(2k-1)+1/(2k+1)]-ln(2k+3)<2+ln(2k+1)-ln(2k+3)
=2+ln[(2k+1)/(2k+3)]<2，这是因为`2k+1<2k+n，0<(2k+1)/(2k+3)<1，故ln[(2k+1)/(2k+3)]<0之故。
故原不等式[m=1，n] ∑2/(2m-1)-ln(2n＋1)<2成立。