58问答库 > 证明诺函数f（x）在区间I上连续，则|f（x）|在I上也连续，反之不成立，详细过程？

证明诺函数f（x）在区间I上连续，则|f（x）|在I上也连续，反之不成立，详细过程？

2025-05-19 10:00:57

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回答（1）：

先举例说明反之不成立
当x<0时，f(x)=-1
当x≥0时，f(x)=1
显然f(x)在x=0处不连续
但是|f(x)|=1是一个连续函数
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现在证明若函数f(x)在区间I上连续，则|f(x)|在I上也连续
对于任意的x0∈I，因为f(x)在x=x0处连续
所以对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的0<|x-x0|<δ
有|f(x)-f(x0)|<ε
因此对于任意的ε>0，存在δ>0，使得对于任意的0<|x-x0|<δ
有||f(x)|-|f(x0)||≤|f(x)-f(x0)|<ε
所以|f(x)|在x=x0处连续
因为x0是I上任意的点
所以|f(x)|在I上连续

回答（2）：

简单分析一下，详情如图所示