高数微分方程画横线的地方怎么求的

2025-05-21 05:58:18

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回答（1）：

求微分方程 y''+y=cosx的特解

解：齐次方程y''+y=0的特征方程r²+1=0的根r=±i；

故齐次方程的通解为：y=C₁cosx+C₂sinx；

设其特解为：y*=axcosx+bxsinx;

y*'=acosx-axsinx+bsinx+bxcosx=(bx+a)cosx-(ax-b)sinx;

y*''=bcosx-(bx+a)sinx-asinx-(ax-b)cosx=(2b-ax)cosx-(bx+2a)sinx;

代入原式得：(2b-ax)cosx-(bx+2a)sinx+axcosx+bxsinx

=2bcosx-2asinx=cosx；∴2b=1，得b=1/2；a=0；

故特解为：y*=(1/2)xsinx;

回答（2）：

y=(xsinx)/2 因为y''+y=cosx的特征方程是r*r+1=0存在±i的根，而这个根和后面的cosx=（e^(ix)+e^(-ix))/2发生了冲突（请看书籍），所以要设y=bxsinx，然后代入求的待定系数为：b=1/2