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已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M，N两点．①求实数k的取值范围；②
已知过点A（0，1）斜率为k的直线l与圆（x-2） 2 +（y-3） 2 =1相交于M，N两点．①求实数k的取值范围；②
2025-05-17 07:24:31
推荐回答（1个）
回答（1）：
①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，
当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=
|2k-2|
1+
k
2
=r=1，化简得3k
2
-8k+3=0，解得：k=
4±
7
3
，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：
4-
7
3
＜k＜
4+
7
3
；
②把直线方程与圆方程联立得
y=kx+1
(x-2)
2
+
(y-3)
2
=1
，消去y得到（1+k
2
）x
2
-4（1+k）x+7=0
设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），则x
1
和x
2
为（1+k
2
）x
2
-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x=
x
1
+
x
2
2
=
2(1+k)
1+
k
2
，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k
2
）y
2
-（2+4k+6k
2
）y+12k
2
+4k+1=0，
得到纵坐标y=
y
1
+
y
2
2
=
1+2k+3
k
2
1+
k
2
，
则线段MN的中点轨迹方程为：
x=
2(1+k)
1+
k
2
y=
1+2k+3
k
2
1+
k
2
；
③
AM
=（x
1
，y
1
-1），
AN
=（x
2
，y
2
-1），所以
AM
?
AN
=x
1
x
2
+（y
1
-1）（y
2
-1）=（1+k
2
）x
1
x
2
=7为常数．
④
OM
?
ON
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=
7
1+
k
2
+
12
k
2
+4k+1
1+
k
2
=12，即12k
2
+4k+8=12（1+k
2
），解得k=1．
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