58问答库 > 设a>0,b>0.若根号3是3^a与3^b的等比中项，则1⼀a+1⼀b的最小值

设a>0,b>0.若根号3是3^a与3^b的等比中项，则1⼀a+1⼀b的最小值

2025-05-11 10:31:37

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回答（1）：

即：
∵√3是3^a与3^b的等比中项
∴3^a x 3^b=3
∴a+b=1
1/a+1/b
=(a+b)/a+(a+b)/b
=2+b/a+a/b≥2+2√(b/axa/b)=2+2=4
当且仅当b/a=a/b即 a=b=1/2时等号成立
所以最小1/a+1/b的最小值为4。

回答（2）：

因为√3是3^a与3^b的等比中项
√3/3^a=3^b/√3
3^(a+b)=3
a+b=1
1/a+1/b=(a+b)/a+(a+b)/b=2+b/a+a/b

根据基本不等式
a+b≥2√ab
所以b/a+a/b≥2
1/a+1/b=2+b/a+a/b≥4
所以最小值为4

如有不懂请追问
望采纳

回答（3）：

3^2=3^(a+b)
a+b=2
1/a+1/b=1/2(2/a+2/b)=1/2(1+b/a+1+b/a)=1+1/2(b/a+a/b)>=1+1=2