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为什么抽象函数满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)就是三角函数

给个证明

2025-05-16 09:28:47

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回答（1）：

解答：

设f(x)=sinx，则f(y)=siny
则f(x+y)=sin(x+y)，f(x-y)=sin(x-y)
所以
f(x+y)+f(x-y)
=sin(x+y)+sin(x-y)
=sinxcosy+cosxsiny+sinxcosy-cosxsiny
=2sinxcosy
=2f(x)f(y)

注：其实这句话是不准确的，因为三角函数f(x)虽然满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，但是未必就有满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)一定是三角函数，还有很多我们没接触过的函数总会存在另外一些函数满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)的

回答（2）：

这种事情么你记住公式就好了，真不信呗可以拿个三角函数，用这个公式带进去验证一下也就出来了