已知a,b,c>0,求证:(a+b+c)(1⼀a+1⼀b+1⼀c)>=9

我来回答
把算式展开得
3+(a/b+b/a)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)
也就是要证明
(a/b+b/a)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>且=6

把a/b看成根号a/b的平方 b/a看成根号b/a的平方
由于a>o b>0
所以就有a/b+b/a>且等于2倍根号下a/b·b/a
a/b·b/a=1
也就是a/b+b/a>且等于2

同理(c/a+a/c) (c/b+b/c)也都是大于且等于2的
也就是(a/b+b/a)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>且=6

原题得证

我同学说是排序不等式的直接套用，你去网上搜搜看。

(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=
(ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a))/(abc)
=
(ab(a-b)+c(b²-a²)+c²(a-b))/(abc)
=
-(a-b)(b-c)(c-a)/(abc).
c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)
=
(c(b-c)(c-a)+a(a-b)(c-a)+b(a-b)(b-c))/((a-b)(b-c)(c-a))
=
(-c³-abc+bc²+ac²-a³-abc+ba²+ca²-b³-abc+ab²+cb²)/((a-b)(b-c)(c-a))
=
(-9abc+a(b²+c²+2bc)-a³+b(c²+a²+2ca)-b³+c(a²+b²+2ab)-c³)/((a-b)(b-c)(c-a))
=
(-9abc+a(b+c+a)(b+c-a)+b(c+a+b)(c+a-b)+c(a+b+c)(a+b-c))/((a-b)(b-c)(c-a))
=
-9abc/((a-b)(b-c)(c-a))
(∵a+b+c
=
0).
于是((a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b)(c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a))
=
9.