二阶常系数线性微分方程题目

求通解

2025-05-18 17:03:15

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回答（1）：

特征方程:2r^2+5r=0, 根为0,-2/5
由于0是根,设特解:y=Ax^3+Bx^2+Cx, y'=3Ax^2+2Bx+C y''=6Ax+2B,代入:
2(6Ax+2B)+5(3Ax^2+2Bx+C)=5x^2
15A=5 12A+10B=0 4B+5C=0
解得:A=1/3 B=-2/5 C=825
通解:y=C1+C2e^(-2x/5)+x^3/3-2x^2/5+8x/25

回答（2）：

y''+5/2y'=5/2x^2
e^(5/2x)(y''+5/2y')=5/2x^2e^(5/2x)
(y'e^(5/2x))'=5/2x^2e^(5/2x)
两边积分：y'e^(5/2x)=∫x^2e^(5/2x)d(5/2x)
=∫x^2d(e^(5/2x))
=x^2e^(5/2x)-∫e^(5/2x)*2xdx
=x^2e^(5/2x)-4/5∫xd(e^(5/2x))
=x^2e^(5/2x)-4/5xe^(5/2x)+4/5∫e^(5/2x)dx
=e^(5/2x)(x^2-4/5x+8/25)+C1
所以y'=x^2-4/5x+8/25+C1e^(-5/2x)
两边积分：y=x^3/3-2/5x^3+8/25x+C1e^(-5/2x)+C2

回答（3）：

　　该方程缺y项，解法是：
　　记p=y'，则y"=dp/dx，方程变为
　　2(dp/dx)+5p=5x^2，
是一阶线性微分方程，按一阶线性微分方程的解法，……