58问答库 > 已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y)②对任意非零实数x都有

已知定义在R上的函数f(x)满足:①对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=1+f(x+y)②对任意非零实数x都有

f(x)=xf(1/x)，则f(2012)=？

2025-05-17 07:52:22

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回答（1）：

由条件1可知：
令 x=y=0 f(0) + f(0) =1 + f(0) 所以f(0) =1;
令y=-x ; f(x) + f(-x) = 1 + f(0) 得出f(x) + f(-x) =2;

由条件2可知：
f(-1) = -f(-1) 得出f(-1) = 0; 所以 f(1) = 2 - f(-1) =2;

所以 f(2012) = f(1) + f(2011) -1
= 2f(1) + f(2000）-2
= ........
=2012f(1) - 2011
=2012 *2 -2011
=2013