求f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)单调性

已知函数f(x)满足f(x)f(y) = f(x+y)+f(x-y), 判断f(x)的单调性?
大概是看错题了吧, 也许原题是判断奇偶性?

容易证明其为偶函数:
在条件中取y = 0, 得f(x)f(0) = 2f(x).
若f(x) = 0恒成立, 其显然为偶函数.
若f(x)不恒为0, 则f(0) = 2.
在条件中取x = 0, 得2f(y) = f(0)f(y) = f(y)+f(-y), 即f(y) = f(-y).
同样有f(x)为偶函数.

f(x)作为一个偶函数, 除非为常值函数, 否则其不可能在全体实数上单调.

实际上, 容易验证f(x) = 2cos(ax)满足题目条件, 其中a可取任意实数.
因此满足条件的f(x)没有任何确定的单调区间.

如果假设f(x)具有一定的光滑性, 例如二阶可导.
可以求出满足条件且不恒为0的通解: f(x) = (e^(ax)+e^(-ax))·cos(bx).
其中a, b可取任意实数.
除了奇偶性能够确定外, 单调性, 周期性, 有界性等都是不能确定的.

这应该是一个常函数。
因为f(0)f(0)=f(0)+f(0)
f(0)=0或2；
f(0)=2时；
如果x=0；y=x；f(x)f(0)=2*f(-x);f(x)=f(-x);所以f(x)=2；

如果f(0)=0；f(x)f(-x)=f(0)+f(2x)；
f(-x)f(x)=f(0)+f(-2x)；
所以f（-2x）=f（2x）；
所以其也是常函数。。f(x)=0；

错了，你妹的。。。
可以求出是偶函数，所以其单调性是不可能永恒不变
可以求出个通式 f（x^2）=f(2*x)+2;

y=0,f(x)f(0)=2f(x),f(x)=0或f(0)=2.现设f(0)=2,取x=0,f(y)=f(-y).f是偶函数.