58问答库 > 若不等式x눀+2xy≤a(x눀+y눀）对于一切正数x、y恒成立，则a的最小值为

若不等式x눀+2xy≤a(x눀+y눀）对于一切正数x、y恒成立，则a的最小值为

2025-05-09 11:23:54

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回答（1）：

解：
x²+2xy≤a(x²+y²）
x²+2xy≤ax²+ay²
(a-1)x²-2xy+ay²≥0
x、y均为正数，两边同时除以y²得
(a-1)(x/y)²-2x/y+a≥0
设t=y/x 则t>0
(a-1)t²-2t+a≥0恒成立。
令f(t)=(a-1)t²-2t+a （t>0）则
a-1>0
f(0)=a≥0
解得
a>1

回答（2）：

解答：
若不等式x²+2xy≤a(x²+y²）对于一切正数x、y恒成立
看成关于x的不等式
则 (1-a)x²+2y*x-ay²≤0（**）恒成立
若a=1，易知不等式不能恒成立
∴ （**）是二次不等式
∴ 1-a<0且判别式=4y²+4ay²(1-a)<0
∴ a>1且[1+a(1-a)]y²<0
∴ a>1且1+a-a²<0
∴ a>1且 a>(1+√5)/2或a<(1-√5)/2
∴ a的范围是a>(1+√5)/2

回答（3）：

(a-1)x²-2xy+ay²≥0，y=0,a-1>0 a>1；y≠0，(a-1)x²/y²-2x/y+a≥0，a-1>0且（-2）²-4a（a-1）≥0
解得a=二分之（根号5加1）