58问答库 > 要造一个表面积等于定数k,横截面为半圆形的无盖半圆柱形容器，求其容积v最大时，半圆半径r和柱体的高h

要造一个表面积等于定数k,横截面为半圆形的无盖半圆柱形容器，求其容积v最大时，半圆半径r和柱体的高h

2025-05-05 06:54:08

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回答（1）：

问题为在条件Ψ(r,h)=∏rh+∏r²下，求函数V=1/2∏r²h的最大值
构造拉格朗日函数
F(r,h,λ)=1/2∏r²h+λ(∏rh+∏r²-k).
分别求偏导，并另之为零，得到方程组
Fr=∏rh+λ∏h+2∏λr=0,
Fh=1/2∏r²+λ∏r=0,
Fλ=∏rh+∏r²-k=0.
∵r＞0，h＞0，∴解方程组可得
r=√(k/3∏),h=2√(k/3∏)。
∴当r=√(k/3∏),h=2√(k/3∏)时，可使它的容积最大。

回答（2）：

V＝h×πr²/2＝﹙π/2﹚×hr²

k＝πrh+πr²/2＝﹙π/2﹚×﹙rh+rh+r²﹚,即rh+rh+r²＝常数，

∴rh＝rh＝r²时，rh×rh×r²＝﹙r²h﹚²有最大值，从而V有最大值，

即 r＝h时，容积v最大。