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同余类的数量PATHSSketch的证明。 让T,S是行y = x + T + 1,y = x−−1 S,分别。让A1表示套晶格路径在L(n,m)达到T至少一次,不管什么发生在任何其他步骤,让A2表示套晶格路径在L(n,m)达到T,S至少一次按照指定的顺序。一般来说,让Ai表示套晶格路径在L(n,m)达到T,S,。。。,或者(我倍)至少一次在指定的顺序。让Bi是集定义在相同的方式作为人工智能与年代,T互换。一个标准的包容性独家原理论证收益率:为对称点(A,b)就行y = x + c(b−c,A + c),通过多次应用反射原理的论点,我们obtainSubstituting这到(2.5)会导致(2.4)。引理6。为每一个正整数n,k,证明。替换(2.4)(2.3)和交换的顺序累加,现在,如果n≥k,然后k =如果k > n,然后k = n,由于方程(2.8)也是有效的。因此(2.7)和(2.6)都是平等的。

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让T和S为y = x线+ T + 1和y = x−的−1，分别。让A1表示L的晶格路径组（n，m）到达至少一次，无论在任何其他的一步会发生什么，让A2表示L的晶格路径组（n，m）到达的至少一次，以规范fi版一般，让AI表示在L晶格路径组（n，m）达到T，S，。（一次），或者至少一次在特定的fiED命令。
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为对称点（A，B）对线路Y = X + C（B−C，A + C），通过反复应用稀土fl检验原则的论点，我们得到代为（2.5）导致（2.4）。
引理6。对每个正整数n和k，
证明。替代（2.4）到（2.3）和交换的求和的秩序，
现在，如果n≥K，K
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如果K＞N，则K = N，因为
方程（2.8）也是有效的。因此，（2.7）和（2.6）都是平等的。

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