58问答库 > 微积分题: 1.求（1+x^2)y✀✀=2xy✀ 的通解 2.计算 ∫ [(x-1）^0.5]⼀x *dx 非常着急请高人指导重重有赏

微积分题: 1.求（1+x^2)y✀✀=2xy✀ 的通解 2.计算 ∫ [(x-1）^0.5]⼀x *dx 非常着急请高人指导重重有赏

非常感谢，十万火急，重重有赏

2025-05-18 19:36:46

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回答（1）：

1.求（1+x²)y''=2xy' 的通解

解：令y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx，代入原式得(1+x²)(dp/dx)=2xp；
分离变量得 dp/p=2xdx/(1+x²)；
积分之得lnp=∫[d(1+x²)]/(1+x²)=ln(1+x²)+lnC₁=ln[C₁(1+x²)]
故得p=dy/dx=C₁(1+x²)
即有dy=C₁(1+x²)dx
再积分之得通解为：y=C₁[x+(x³/3)]+C₂
2.计算 ∫ [√(x-1)]dx/x

解：令√(x-1)=u，则x-1=u²，x=u²+1，dx=2udu，代入原式得：
原式= ∫2u²du/(u²+1)=2 ∫[1-1/(1+u²)]du=2[u-arctanu]+C=2[√(x-1)-arctan√(x-1)]+C

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微积分题: 1.求（1+x^2)y✀✀=2xy✀ 的通解 2.计算 ∫ [(x-1）^0.5]⼀x *dx 非常着急请高人指导重重有赏