在三角形ABC中，已知tanA=1⼀2，tanB=1⼀3，且最长边的长为5根号5，求： （1）C （2）最短边的长

因为A+B+C=180
所以C=180-(A+B)
tanC=tan(180-(A+B))=-tan(A+B)

tan(A+B)
=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
=(1/2+1/3)/(1-1/2×1/3)
=(5/6)/(5/6)
=1A+B=45
tanC=-1，因为0所以C=135°

tanB所以B角所对的边最短
sinC=根号2/2，tanB=1/3，已知tanB=1/3=sinB/cosB
所以sinB=1/3cosB
因为sin²B+cos²B=1
所以(3sinB)²+sin²B=1
即sin²B=1/10
因为B是锐角
所以sinB=1/√10=√10/10由正弦定理得
√10/10 / b =sinC /c=√2/2 / 5√5
b=5

解：①在△ABC中，A∈(0,π),B∈(0,π),C∈(0,π)，且 A+B+C=π
tanA=1/2,tanB=1/3,则 tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=1
则 A+B=π/4 ∴ C=3π/4
②由①得，C最大，B最小，则 最长边为c，最短边为b，则c=5√5
正弦定理，得 b/sinB=c/sinC 即 b=c*sinB/sinC
tanB=1/3，得 sinB=√10/10 C=3π/4，得 sinC=√2/2
∴ b=5

希望你看的清，三角的题就是偶尔麻烦，继续算算就好了~加油~