如图,在四边形ABCD中,E,F，G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点,求证:EF和GH互相平分

这道题，主要考点是：平行四边形的判定与性质．

专题：证明题．

分析：要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．

解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，
∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，
∴EG=1/2BC，HF=1/2BC，
∴EG=HF．
同理EH=GF．
∴四边形EGFH为平行四边形．
∴EF与GH互相平分．

点评：本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

连接GF，∵F、G分别为AD、BD的中点，∴FG∥AB，FG=1/2AB，
连接EH，∵H、E分别为AC、BC的中点，∴EH∥AB，EH=1/2AB，
∴FG与EH平行且相等，
∴四边形FGEH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分。

连接EH、HF、FG、GE，E,F，G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点
根据中位线定理得
EH//=1/2AB FG//=1/2AB
四边形FGEH是平行四边形(对边平行且相等)
所以：EF和GH互相平分

连接E、H、F、G。根据中位线定理得
EH=1/2AB FH=12CD FG=1/2AB GE=1/2CD
所以：EH=FG FH=GE

四边形ABCD是平行四边形，对角线互相平分。