58问答库 > 已知数列【An】、【Bn】满足：a1=1⼀4, An+Bn=1, B（n+1）=Bn⼀((1-An)

已知数列【An】、【Bn】满足：a1=1⼀4, An+Bn=1, B（n+1）=Bn⼀((1-An)

用数学归纳法求Bn和An

2025-05-13 06:28:29

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回答（1）：

an+bn=1
bn=1-an b(n+1)=1-a(n+1)
b(n+1)=bn/[(1-an)(1+an)]
1-a(n+1)=(1-an)/[(1-an)(1+an)]=1/(1+an)
[1-a(n+1)](1+an)=1
an-a(n+1)=ana(n+1)
等式两边同除以ana(n+1)
1/a(n+1)-1/an=1，为定值。
1/a1=1/(1/4)=4，数列{1/an}是以4为首项，1为公差的等差数列。
1/an=4+1×(n-1)=n+3
an=1/(n+3)
bn=1-an=1- 1/(n+3)=(n+2)/(n+3)
数列{an}的通项公式为an=1/(n+3)；数列{bn}的通项公式为bn=(n+2)/(n+3)。

数学归纳法的话，本题前半部分一样的，后面猜{an}通项，再证明就可以。