1、设f(x)在[1,100]上连续，且∫1到100f(x)dx=0 证明存在C∈(1,100)使得f(C)=0（详细过程）

证： 设g(x) = ∫f(t) dt (1到x)
因为由定积分性质知 g(1) = ∫f(t) dt =0(1到1)
由已知得 g(100) = ∫f(t) dt=0 (1到100)
因为f(x)在[1,100]上连续 g(x)在[1，100]上可积
所以 g(x) 在[1，100]上连续，在（0，100）内可导,满足罗尔定理条件
所以存在c∈（0,100）使得 g'(c) =0又g`(x)=f(x)
即 g'(c) =f(c) = 0， C∈(1,100）
所以 f(c) = 0

∫1到100f(x)dx=0

根据定积分的定义，函数f(x)与x轴在[1,100]围成的面积为0
因此存在C∈(1,100)使得f(C)=0

楼下都不对，哪有证明题详细过程那么写的。学过拉格朗日中值定理吗？这个题要使用积分中值定理的改良形式。
设F(x)=∫(1→x)f(t)dt，因为f(x)在[1,100]连续，所以F'(X)=f(x)，F(x)在[1,100]连续，(1,100)可导，所以F(100)-F(1)=f(C)(100-1)，C∈(1,100)，也就是∫(1→100)f(x)dx=0=99f(C)，得f(C)=0，C∈(1,100)。
证毕
这道题不能直接用积分中值定理证明
满意请加分，不满意请追问。

若f(x)>0,则积分>0;若f(x)<0,则积分<0.故存在点a和b使f(a)>0,f(b)<0.于是存在C使f(C)=0