已知2sinA+3sinB=1 ，2cosA+3cosB=2 求cos(A+B)

其实那位14级达人说的已经很不错了，楼主要是还觉得他的回答不够巧，可以看下我的。

下面解答需要楼主有一定的复数知识，因为其实可以用平面几何学来直观地解决这道题目。

这道题巧的地方，是在复数域该式子表示了个直角三角形的复数加法运算。

设复数a=2cosA+i*2sinA,b=3cosB+i*3sinB，则c=a+b=(2cosA+3cosB)+i*(2sinA+3sinB)=2+i。

可以看出，a的模长是2，b的模长是3，而c的模长是sqrt(2*2+1*1)=sqrt(5)，sqrt是根号的意思。

复数域里，复数相加，相当于形成个三角形（学过向量的应该就明白）。而这个abc三角形呢，因为2*2+sqrt(5)*sqrt(5)=3*3，正巧是个直角三角形（其中b为斜边）！这应该就是这道题所谓“精巧求解”的奥妙吧。

后面的，画个图就知道，ac为直角边，所以复数a和复数c垂直，即tanA=-2，只可能有两种情况：
（1）cosA=-1/sqrt(5)，sinA=2/sqrt(5)。
则sinB=(1-2sinA)/3=1/3-4/3/sqrt(5)，cosB=(2-2cosA)/3=2/3+2/3/sqrt(5)。
经过验证，确实平方和为1。

（2）cosA=1/sqrt(5)，sinA=-2/sqrt(5)。
则sinB=(1-2sinA)/3=1/3+4/3/sqrt(5)，cosB=(2-2cosA)/3=2/3-2/3/sqrt(5)。
经过验证，确实平方和为1。

cos(A+B)
=cosA cosB-sinA sinB
=cosA (2-2cosA)/3-sinA (1-2sinA)/3
=1/3(2cosA-sinA-2cosA*cosA+2sinA*sinA)
（无论哪种情况都有cosA*cosA=1/5，sinA*sinA=4/5）
=1/3(2cosA-sinA-2*1/5+2*4/5)。
=1/3(2cosA-sinA+6/5) （因为两种情况都有tanA=-2）
=1/3(2cosA+2cosA+6/5)
=1/3(4cosA+6/5)。

后面把cosA的两个值代进去，就完了，结果是1/3(6/5+4/sqrt(5))或是1/3(6/5/-4/sqrt(5))。

要是楼主觉得这个解答终于够“巧”了，望采纳下老衲的解答。

题目错了吧？应该是求cos(A-B)吧？

∵2sinA+3sinB=1
∴(2sinA+3sinB)²=1
即4sin²A+12sinAsinB+9sin²B=1…………①
∵2cosA+3cosB=2
∴(2cosA+3cosB)²=4
即4cos²A+12cosAcosB+9cos²B=4…………②
①+②得
4(sin²A+cos²A)+12(cosAcosB+sinAsinB)+9(sin²B+cos²B)=5
4+12cos(A-B)+9=5
12cos(A-B)=-8
cos(A-B)=-2/3

解：∵2sinA+3sinB=1，∴(2sinA+3sinB)^2=1
∴4(sinA)^2+12sinAsinB+9(sinB)^2=1 ................ (1)
∵2cosA+3cosB=2，∴(2cosA+3cosB)^2=4
∴4(cosA)^2+12cosAcosB+9(cosB)^2=4 ............... (2)
(1)+(2)，得：4[(sinA)^2+(cosA)^2]+12(sinAsinB+cosAcosB)+9[(sinB)^2+(cosB)^2]=5
而(sinA)^2+(cosA)^2=(sinB)^2+(cosB)^2=1，sinAsinB+cosAcosB=cos(A-B)
∴13+12cos(A-B)=5
∴cos(A-B)=-2/3

我觉得这题得硬来
3sinB=1 -2sinA
3cosB=2-2cosA
平方
9=9-4sinA-8cosA
sinA=-2cosA
也不难求sinA和cosA就得出来了
sinB,cosB也好求

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