（1）由题意得F′（x）=
-a+1 x
，a?1 x2
∴F′（2）=
-a+1 2
=0?a=a?1 4
，1 3
（2）由（1）得F′（x）=
，?(x?1)(ax+a?1) x2
①当0＜a＜
时，1 2
=1?a a
-1＞1，1 a
故x∈（0，1）时F′x）＜0，
x∈（1，
-1）时，F′（x）＞0，1 a
x∈（
-1，+∞）时，F′（x）＜0，1 a
即F（x）在（0，1）上递减，在（1，
-1）上递增，在（1 a
-1，+∞）上递减；1 a
②a=
时，F′（x）=1 2
≤0，（当且仅当x=1时等号成立），?(x?1)2 2x2
故F（x）在（0，+∞）上递减，
综上：当0＜a＜
时F（x）在（0，1）上递减，在（1，1 2
-1）上递增，在（1 a
-1，+∞）上递减；1 a
a=
时，F（x）在（0，+∞）上递减；1 2
（3）由题意
＞-a-1，?x1≠x2，x1，x2∈[1，2]恒成立，F(x1)?F(x2)
x1?x2
不妨设x1＞x2，则
＞-a-1?F（x1 ）-F（x2 ）＞-（a+1）x1+（a+1）x2，F(x1)?F(x2)
x1?x2
即F（x1 ）+（a+1）x1＞F（x2 ）+（a+1）x2，函数y=F（x）+（a+1）x在[1，2]上递增，
∴y′=
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