58问答库 > 急！高数题：设f(x)在R上有二阶连续导数,且f(0)=0,x不等于0时,g(x)=f(x)⼀x；x=0时，g(x)=f✀(0)

急！高数题：设f(x)在R上有二阶连续导数,且f(0)=0,x不等于0时,g(x)=f(x)⼀x；x=0时，g(x)=f✀(0)

2025-05-12 05:13:25

推荐回答（4个）

回答（1）：

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？

当x≠0时, g(x)=f(x)/x
∴g'(x) = [xf'(x)-f(x)]/x²
g'(x)在x≠0时连续

x=0时,
g'(0) = lim(x→0) [g(x)-g(0)]/(x-0)
=lim(x→0) [f(x)/x-f'(0)]/x
=lim(x→0) [f(x)-xf'(0)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)-f'(0)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

又lim(x→0) [xf'(x)-f(x)]/x²
=lim(x→0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)
=(1/2)f''(0)

∴lim(x→0) g'(x) =g'(0)
即g'(x)在x=0处连续

综上可得g'(x)在R上连续，即g(x)在R上有一阶连续导数

回答（2）：

证明：x不等于0时，g'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,
x等于0时，g'(0)=lim(g(x)-g(0))/x=lim(f(x)/x-f'(0))/x
=lim(f(x)-xf'(0))/x^2=lim(f'(x)-f'(0))/2x=1/2f''(0)
x趋于0时，limg'(x)=(xf'(x)-f(x))/x^2,=lim(f'(x)+xf''(x)-f('x))/2x=limf''(x)/2=f''(0)/2 =g'(0)
所以：g'(x)在R上连续

回答（3）：

应该是证g(x)在R上有一阶连续导数吧？加油你是最棒的

回答（4）：