58问答库 > 计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2与z=1?x2?y2所围成的区域

计算三重积分∫∫∫Ω(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=x2+y2与z=1?x2?y2所围成的区域

2025-05-18 22:48:49

推荐回答（1个）

回答（1）：

?
Ω
(x+z)dv=
?
Ω
xdv+
?
Ω
zdv，
因为Ω关于yOz平面对称，x是关于x的奇函数，
所以：
?
Ω
xdv=0，
对于
?
Ω
zdv，利用柱坐标系将区域划为：
Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤
2
2
，r≤z≤
1?r2
}，
从而：
?
Ω
zdv=
∫
2π
0
dθ
∫
2
2
0
rdr
∫
1?r2
r
zdz=
∫
2π
0
dθ
∫
2
2
0
1
2
r(1?2r2)dr=
π
8
，
故答案为：
π
8
．