1⼀（3+cosx)的积分是多少啊

2025-01-05 03:20:27

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回答（1）：

令x＝2u,则：u＝x/2,dx＝2du.

∴∫［1/（3＋cosx）］dx

＝2∫［1/（3＋cos2u）］du

＝2∫｛1/［3＋2（cosu）^2－1］｝du

＝2∫｛1/［2＋2（cosu）^2］｝du

＝∫｛1/［1＋（cosu）^2］du

＝∫｛1/［2（cosu）^2＋（sinu）^2］｝du

＝∫｛1/［2＋（tanu）^2］｝［1/（cosu）^2］du

＝（1/2）∫｛1/［1＋（1/2）（tanu）^2］｝d（tanu）

＝（√2/2）∫｛1/［1＋（1/2）（tanu）^2］｝d［（1/√2）tanu］

＝（√2/2）arctan［（1/√2）tanu］＋C

＝（√2/2）arctan［（√2/2）tan（x/2）］＋C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

回答（2）：

简单计算一下即可，答案如图所示

回答（3）：

作万能代换，令t=tan（x/2），则dx=2dt/（1+t²），cosx=（1-t²）/（1+t²）故原积分=∫dt/（2+t²）=1/√2*arctan（t/√2）+C=1/√2*arctan（tan（x/2）/√2）+C