解：所求体积=∫∫∫
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<(1+(sinθ)^2)r^2,3-(1+(cosθ)^2)r^2>dz
(作极坐标变换)
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>3(1-r^2)rdr
=6π∫<0,1>(r-r^3)dr
=6π(1/2-1/4)
=3π/2。
2.证明：∵ 2xydx+x^2dy=d(yx^2)
==>∫2xydx+x^2dy=∫d(yx^2)=yx^2+C （C是任意常数）
∴2xydx+x^2dy是某个函数的全微分
故所求函数是F(x,y)=yx^2+C。
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