求解高数证明问题

f(x)在a连续的定义为：lim f(x)=f(a) ，极限过程为x->a
即对于任意的h>0, 存在d>0, 当|x-a|要证明|f(x)|在a点连续，即要证明lim|f(x)|=|f(a)|即可，极限过程同样为x->a
利用 |(|f(x)|-|f(a)|)|≤|f(x)-f(a)|
可以知道
对于任意的h>0, 存在d>0, 当|x-a|这样也即证明了该命题。

(1)若f(a)>0,由保号性得在a的某个去心邻域内|f(x)|=f(x)
所以lim|f(x)|=limf(x)=f(a)=|f(a)|
(2)若f(a)=0,则lim|f(x)|=lim|f(x)-f(a)|
因为limf(x)=limf(a)
所以lim(f(x)-f(a))=0
所以lim|f(x)|=0=f(a)
(3)若f(a)<0,由保号性得在a的某个去心邻域内|f(x)|=-f(x)
所以lim|f(x)|=-limf(x)=-f(a)=|f(a)|

综上所述lim|f(a)|=f(a)
所以|f(x)|在a也连续

根据函数连续的定义来证

f(x)连续有
limf(x)(x→a-)=limf(x)(x→a+)=f(a)
那么
lim|f(x)|(x→a-)=|f(a)|,
lim|f(x)|(x→a+)=|f(a)|,
即
lim|f(x)|(x→a-)=|f(a)|=lim|f(x)|(x→a+)
所以|f(x)|在a连续