58问答库 > 已知函数f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)（x,y∈(0,+∞)) f(2)=1

已知函数f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数，且满足f(x+y)=f(x)+f(y)（x,y∈(0,+∞)) f(2)=1

求f(1) 求满足f(x)+f(x-3)≤2的x的取值范围

2025-05-14 17:47:25

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回答（1）：

解：
令x=y=1得f(2)=f(1)+f(1)=2f(1)=1
得f(1)=1/2
令x=y=2得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)=2×1=2
因为f(x)+f(y)=f(x+y)
所以f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]=f(x²-3x)≤2=f(4)
因为f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数
所以x²-3x≥4
x≥0
x-3≥0
解得x≥4

答案：f(1)=1/2
x≥4

回答（2）：

解：（1）因为f(x+y)=f(x)+f(y)
所以f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
（2）f(x)+f(x-3)=f(2x-3)
f(4)=f(2)+f(2)=2
所以f(2x-3))≤f(4)
又因为函数f(x)是定义在（0，+∞）上的减函数
所以 2x-3大于或等于4 且 2x-3>0
解得 x大于或等于 7/2