阿贝尔定理怎么证明呀

2025-05-18 02:33:29

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回答（1）：

1. 定理设 $f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n$ 为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数 $z_0$ ，级数 $\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n$ 收敛，则有: $\lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n$ 。

若 $\sum_{n \geq 0} a_n R^n$ 收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

2. 例子和应用阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上 $x^n$ 项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

1.为计算收敛级数 $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ ，设 $f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)$ 。于是有 $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2$
2.为计算收敛级数 $\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ ，设 $g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)$ 。因此有 $\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}$

回答（2）：

证明当然很长。也不是楼上说的积分收敛判别法。详情看《代数学引论》第八章。阿贝尔和伽罗华同时证明了这个定理，但伽罗华的结果更完整。他引入了Glois Group的概念让所有方程的求根公式问题得到解决。你要学了抽象代数才会证的。这是数学最伟大的理论之一