复数试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(1－i)2•i ＝ （ ）
A．2-2i B．2+2i C． 2 D．-2
2．设复数 = （ ）
A． B． C． D．
3．复数 的值是 （ ）
A．4i B．－4i C．4 D．－4
4．设复数z＝1＋ i，则z2－2z= （ ）
A．－3 B．3 C．－3i D．3i
5．复数 的值是 （ ）
A．－1 B．1 C．32 D．－32
6．复数 的值是 ( )
A．－16 B．16 C．-1/4 D．
7．设复数 的辐角的主值为 ，虚部为 ，则 z2＝ （ ）
A． B． C． D．
8．已知复数z1＝3+4i，z2＝t+i，且是实数，则实数t＝ （ ）
A． 3/4 B． 4/3 C．-4/3 D．-3/4
9． （ ）
A． B． C． D．
10．若 且 的最小值是 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．复数 的共轭复数是 （ ）
A． B． C． D．
12．若复数 是一个纯虚数，则自然数 n的值可以是 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．
13．已知复数z与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = ____________．
14．若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是__________．
15．在复平面内， O是原点， ， ， 表示的复数分别为 ，那么 表示的复数为____________.
16． ，那么以|z1|为直径的圆的面积为_______。
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i， z2=a－2－i， 其中i为虚数单位，a∈R， 若 <|z1|，求a的取值范围.
18．（本小题满分12分）已知复数z1=cosθ－i，z2=sinθ+i，求| z1•z2|的最大值和最小值.
19．（本小题满分12分）已知复数z的辐角为60°，且| z-1|是| z|和| z-2|的等比中项. 求| z|。
20．（本小题满分12分）已知z、w为复数，（1+3i）z为实数，w=.
21．(本小题满分12分) 在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为 1+2i，3-5i。求另外两个顶点C，D对应的复数。
22．(本小题满分14分) 已知：复数z1=m+ni，z2=2-2i和z=x+yi，若z= i-z2
⑴若复数z1所对应点M(m，n)在曲线y= (x+3)2+1上运动，求复数z所对应点P(x，y)的轨迹方程；
⑵将⑴中P的轨迹上每一点沿着向量 ={ ，1}方向平移 个单位，得新的轨迹C，求C的方程；
⑶过轨迹C上任意一点A（异于顶点）作其切线l，l交y轴于点B，问：以AB为直径的圆是否恒过x轴上一定点？若存在，求出此定点坐标；若不存在，则说明理由。
复数试题参考答案
一、1．C 2．C 3．D 4．A 5．A 6．A 7．A 8．A 9．B 10．B 11．B 12．D
二、13．-2i 14．1 15．4-4i 16．4π
三、17．解：由题意得 z1= =2+3i，
于是
<，得a2-8a+7<0，1
18．解：|z1•z2|＝|1+sinθcosθ+(cosθ－sinθ)i|
故|z1•z2|的最大值为 3/2，最小值为 .
19．解：设，则复数由题设
20．解：设w＝x+yi(x，y∈R)，依题意得(1+3i)(2+i)w＝(-1+7i)w为实数，且|w|＝5，
∴ ，解之得 或 ，∴w＝1+7i或w＝-1-7i。
21．解：当A、B、C、D按逆时针方向排列时，对应的复数为(3-5i)-(1+2i)＝2-7i。
故 对应的复数为(2-7i)i=7+2i， 对应的复数为(7+2i)＋(2-7i)＝9-5i。
于是C点对应的复数为(9-5i)+(1+2i)＝10-3i，D点对应的复数为(7+2i)+(1+2i)＝8+4i。
同样，当A、B、C、D按顺时针方向排列时，C、D点对应的复数分别为-4-7i，-6。
22．解：⑴(y+1)2=2(x+1)
⑵向右平移3/2 ，向上平移1，得y2=2(x-1/2)
⑶设A(x0，y0)，斜率为k，切线y-y0=k(x-x0) (k≠0)，代入整理得
ky2-2y+(2y0-2kx0+k)=0，△=0得(2x0-1)k2-2y0k+1=0
y02 =2x0-1，代入y02k2-2y0k+1=0，得k=1/y0.
令x=0，B(0，y0- x0/y0)，以AB为直径的圆(y-y0)[y-( y0-x0/y0 )]+x(x-x0)=0
令y=0，x=1 即恒过(1，0
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