一维反演

1.常规反演方法

大地电磁测深数据的反演通常采用广义反演方法。对于给定的属于N维参数空间的模型m∈E^N，与之对应的大地电磁测深响应记为F(m)。对于一系列观测频率ϖ_i，i=1，2，…，M，记相应的响应为d_i，即

东北地球物理场与地壳演化

反演的目的是由在一系列频点上的观测值集d'∈E^M反求m。由于存在噪音，通常采用最小二乘方法，即

东北地球物理场与地壳演化

由此优化问题可求出观测数据的一个简单模型估计。但是，这个优化问题存在至少如下两个问题:第一，非唯一性，不止一个模型能够满足条件，原因是数据的不完全、电法勘探本身的等值性以及求解的数学方法差异;第二，求出的解出现剧烈振荡，解的振荡说明求出的相邻地层电阻率差异很大，对比强烈，或出现薄层。但在大地电磁测深中，能量传播的扩散特征决定了相应的测深数据不可能分辨出如此高的电阻率对比或薄层。

由于反演的非线性本质以及反演方程的病态特征。导致反演对初始模型的要求较为苛刻，反演过程出现不稳定性以及最终的反演结果非唯一。为此，采用正则化反演方法，通过引入正则参数，对模型解做一些限制，如要求解最光滑，能量(长度)最小，模型最光滑等，达到对反演模型的限制，从而获得期望的模型特征。

2.正则化反演方法

正则化反演方法通过引入正则化参数，对模型解进行一些限制，如要求解最光滑，能量(长度)最小，模型最光滑等，达到对反演模型的限制，从而获得期望的模型特征，且能反映是数据的变化特征。其优化问题为

东北地球物理场与地壳演化

式中:μ称为正则化参数;W是模型限制矩阵;其具体形状取决于模型限制方法，对于最光滑模型有

东北地球物理场与地壳演化

优化问题(4-43)是非线性优化问题，其目标函数包括第一项的数据误差与第二项的模型限制。若m₀是优化问题(4-43)式的解，则有ΔU(m₀)=0，从而m₀满足如下方程

东北地球物理场与地壳演化

式中J是M×N矩阵，称为Jacobi矩阵，且

东北地球物理场与地壳演化

在实际电磁法反演中，优化问题(4-43)式通常是从给定的初始模型出发，通过迭代方法获得模型的修正微小量，逐步修改初始模型而得到最终模型。由此看出，正则化方法尽管可获得模型的一些基本期望特征，但仍依赖于初始模型的选取。

为了克服该问题，对一维反演，采用模型参数先验信息约束反演技术。

3.一维定量约束反演

由于水平地层的大地电磁响应为各层的电阻率和厚度的非线性函数，反演过程必须从初始模型开始，采用迭代的方法完成。这里采用考虑阻尼的广义逆反演方法，其迭代基本格式为

东北地球物理场与地壳演化

为了保证反演结果的合理性，在反演过程中，要求模型参数必须满足或部分满足一定的限制条件。当对全部的模型参数进行限制时，则称为硬边界条件约束反演，当对部分的模型参数进行限制时称为软边界条件反演。模型参数的限制条件可以通过测井资料或者其他的途径得到。

为实现约束反演，假设剖面模型矢量的第i个分量P_i满足

东北地球物理场与地壳演化

P^L_i和P^U_i分别为下、上约束参数。引入与P_i对应的新参数x_i，使其满足

东北地球物理场与地壳演化

式中:x_i是无约束的参数a为校正因子;P₀为初始模型。这样k次迭代的模型参数矢量的第i个分量可写为

东北地球物理场与地壳演化

通过(4-43)式，将对有约束的模型参数的反演转化为对任意参数x_i的反演。同时，通过引入正切函数，可以保证参数矢量不会超过约束范围。但引入新的参数后，需要对偏导数矩阵进行相应的修改

东北地球物理场与地壳演化

式中a影响反演收敛的速度。大的a使反演开始时反演参数快速偏离模型初值，但当反演模型接近真解时反演收敛速度较慢。

这样，利用获得的初始模型，对部分或全部模型参数采用(4-49)式进行限制，并采用(4-52)式对偏导数矩阵进行修正，由任意的初始估计x₀，可获得Δx，进而求出x_i，并通过迭代可获得各个测点的反演结果。图4-14为某个点的一维反演情况。

图4-15为XB02线一维反演结果，以直方图形式表示，纵坐标表示垂向深度，从0(地面)到50km深度(算术坐标)，下横坐标表示视电阻率的对数值，0为1Ω·m，1为10Ω·m，2为100Ω·m，3为1000Ω·m，4为10000Ω·m。被反演的视电阻率为ρ_xy和ρ_yx的平均值，按下式定义:

一维反演是假设地质体为水平层状的，如果地质体是水平层状的(两条视电阻率曲线重合)，则反演结果是可靠的。但在我们的野外测量中，还没有发现两条视电阻率曲线完全重合的点，这说明地质体是二维的或三维的。将地质体当作一维，这与实际情况不符，因此一维反演的结果仅供参考。不过它能定性地说明一些问题，如在垂向上哪一段为高阻，哪一段为低阻。在横向上，当相邻点有类似的图形时，说明此段的横向电性均匀，如图中的2点和3点，6点和7点。一维反演时，各点独立进行，一个点的电性不会影响另一点的反演结果。

图4-14 一维反演界面

图4-15 XB02线MT一维反演直方图