四边形ABCD内接于⊙O，C是~BD的中点，AC、BD相交于点E （1）图中有几对相似三角形？请写出来； （2）求

(1)我只看出来4对，分别是ABE∽DEC   AED∽BEC   ABC∽AED   AEB∽ADC

(2)C为弧BD中点，则BC=CD，所以角1＝角2

又因为角ABE=角ACD 

所以AEB∽ADC

所以AB/AC=AE/AD

即AB·AD=AE·AC

(3)DC=BC=3

由ABC∽AED   AEB∽ADC知

BE/3=AE/5   DE/3=AE/7

因为BE*DE=AE*EC(相交弦定理）

所以AE*EC=(9*AE^2)/35

又因为AE*AC=AB*AD=35

所以AE^2+AE*EC=(44*AE^2)/35=35

所以AE=35根11/22

AC=35/AE=2根11

问题补充：图见上 ∠BAC=∠BDC; ∠AEB=∠CED; △AEB∽△EDC ∠AEDAC BD交点O 三角形BAO 与 三角形CDO 因为∠1等于∠4 ∠BOA ∠COD为对

（1）证明：∵点C为弧BD的中点，∴∠DBC=∠BAC，
在△CBE与△CAB中；
∠DBC=∠BAC，∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB．

（2）解：连接OC交BD于F点，则OC垂直平分BD
∵S△CBE：S△CAB=1：4，△CBE∽△CAB，
∴AC：BC=BC：EC=2：1，
∴AC=4EC，
∴AE：EC=3：1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD∥OC，则AD：FC=AE：EC=3：1，
设FC=a，则AD=3a，
∵F为BD的中点，O为AB的中点，
∴OF是△ABD的中位线，则OF=
1
2
AD=1.5a，
∴OC=OF+FC=1.5a+a=2.5a，则AB=2OC=5a，
在Rt△ABD中，sin∠ABD=
AD
AB
=
3a
5a
=
3
5 ．

(1)

相似三角形共有6对

△ABE∽△DCE

△ABE∽△ACD

△DCE∽△ACD

△ADE∽△BCE

△ADE∽△ACB

△BCE∽△ACB

(2)

证明：

∵C是弧BD的中点

∴∠BAC=∠DAE

∵∠ACB=∠ADB

∴△ABC∽△AED

∴AB/AE=AC/AD

∴AB*AD=AE*AC

(3)

作CH⊥AB于点H，CF⊥AD，交AD的延长线于点F

∵C是弧BD的中点

∴CB=CD，∠BAC=∠DAC

∴CH=CF

∴△CBH≌△CDF

∴BH=DF

易得AH=AF

设BH=x

则7-x=5+x

∴x=1

AH=6

∵BC=3

∴CH=2√2

∴AC²=6²+(2√2)²=44

∴AC=2√11