设x,y,z属于R求证x的平方加y的平方加z的平方大于等于xy+yz+zx

2025-05-24 07:55:52

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回答（1）：

因x,y,z属于R
所以
x^2+y^2≥2xy
x^2+z^2≥2xz
y^2+z^2≥2yz
相加得
2（x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+zx)
所以x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx

回答（2）：

∵(x-y)²≥0，(y-z)²≥0，(z-x)²≥0
∴x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx
∴(x²+y²)+(y²+z²)+(z²+x²)≥2xy+2yz+2zx
∴2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+zx)
∴(x²+y²+z²)≥(xy+yz+zx)

回答（3）：

x²＋y²≥2xy；y²＋z²≥2yz；z²＋x²≥2xz，三个式子相加，得：
2x²＋2y²＋2z²≥2xy＋2yz＋2zx
即：
x²＋y²＋z²≥xy＋yz＋zx

回答（4）：

(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≥0
x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2≥0
2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+zx)≥0
2(x^2+y^2+z^2)≥2(xy+yz+zx)
x^2+y^2+z^2≥xy+yz+zx