由题设可知F(a)=0-∫ dt/f(t) =-(b-a)f(ζ) ζ ∈(a,b)F(b)=∫ f(t)dt+0=(b-a)f(η ) η ∈(a,b)由f(x)>0可知F(a)与F(b)异号由连续函数零点定理可得在区间[a，b]必然存在至少一点x1，满足F（x1）=0再证明唯一性反证法：F(x)在区间[a,b]上至少存在2个实根x1,x2 ，且a≤X1< X2≤b由罗尔定理有x3∈(x1,x2)满足F'(X3)=f(x3)-1/f(x3)=0求解得f(x3)=0与题设f(x)>0矛盾显然F(x)=0在区间[a,b]内有且仅有唯一实根。
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