已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，且a3+S5=42，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公

2025-03-12 00:08:27

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（1）∵等差数列{a_n}的前n项和S_n，公差d≠0，
且a₃+S₅=42，a₁，a₄，a₁₃成等比数列，
∴

a1+2d+5a1+

5×4

d＝42

(a1+3d)2＝a1(a1+12d)

d≠0

，
解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+（n-1）×2=2n+1．
（2）∵{

}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴

2n+1

=3^n-1，即b_n=（2n+1）?3^n-1，
∴T_n=3?3⁰+5?3+7?3²+…+（2n+1）?3^n-1，①
3T_n=3?3+5?3²+7?3³+…+（2n+1）?3ⁿ，②
①-②，得：-2T_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）?3ⁿ
=3+2×

3(1?3n?1)

1?3

-（2n+1）?3ⁿ
=3-3+3^n-1-（2n+1）?3ⁿ
=3^n-1-（2n+1）?3ⁿ，
∴T_n=

2n+1

?3n-

3n?1

．