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高中数学:选择题第3题，为什么选a呢？不是明显的一个柯西不等式么？

2025-05-16 08:38:35

推荐回答（5个）

回答（1）：

解法一、据柯西不等式得　(mx+ny)^2≤（m^2+n^2)(x^2+y^2)=ab
故　-√ab≤mx+ny≤√ab　（当且仅当向量（m,n)与（x,y)共线时取“＝”)
即　mx+ny的最大值为 √ab，这时向量（m,n)与(x,y)同向，故选B　　　
解法二.代换法
　　　令 m=√acosα，n=√asinα，x=√bcosβ，y=√bsinβ，
　　　　则 mx+ny=√abcosαcosβ+√absinαsinβ＝√abcos(α-β）≤√ab
　　　当 cos(α-β）=1，α＝β+2kπ，k∈Z时上式取“＝”
　　　所以当向量　　（m,n)与（x,y)共线时　mx+ny取最大值√ab，故选B
说明：由于mx+ny≤√ab，而a≠b，所以　√ab<(a+b)/2，从而得到　mx+ny<(a+b)/2
所以，选A错误

回答（2）：

m=√a cosu
n=√asinu
x=√bcosv
y=√bsinv
mx+ny=√abcos(u-v)
≤√ab
选B

回答（3）：

不等式，，

回答（4）：

回答（5）：