已知x,y,z均为正数。求证：x⼀yz+y⼀zx+z⼀xy大于等于1⼀x+1⼀y+1⼀z

证明：
因为x^2+y^2+z^2-(xy+xz+yz)=1/2*[2x^2+2y^2+2z^2-(2xy+2xz+2yz)]
=1/2*[(x^2-2xy+y^2)+(x^2-2xz+z^2)+(y^2-2yz+z^2)]
=1/2*[(x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2]
≥0，当且仅当x=y=z时取等
所以x^2+y^2+z^2≥xy+xz+yz，当且仅当x=y=z时取等
所以x/yz+y/zx+z/xy=(x^2+y^2+z^2)/(xyz)
≥(xy+xz+yz)/(xyz)
=1/x+1/y+1/z，当且仅当x=y=z时取等，得证。

证明：
由基本不等式可知：
[x/(yz)]+[y/(zx)]≥2/z
[x/(yz)]+[z/(xy)]≥2/y,
[y/(zx)]+[z/(xy)]≥2/x
上面三个式子相加，整理可得：

证明思路:
x,y,z均为正数,所以左,右两边同时乘以2xyz
等价于2x^2+2y^2++2z^2>=2yz+2xz+2xy
移项后左边是三项完全平方式,自然大于等于0.得证.