58问答库 > 数学：在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*),且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项. (1)求...

数学：在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*),且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项. (1)求...

2025-03-08 23:38:22

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回答（1）：

1.
a1a3=a2^2=4 ，又an>0 因此a2=2
2(a3+1)=a2+a4
2(a2q+1)=a2+a2q^2
a2=2代入，整理，得
q(q-2)=0
等比数列，公比不等于0，因此q=2
a1=a2/q=2/2=1
an=a1q^(n-1)=2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)。
(2)
bn=log2(an) +2=log2[2^(n-1)] +2=n-1+2=n+1
1/[bnb(n+1)]=1/[(n+1)(n+2)]=1/(n+1) -1/(n+2)
1/(b1b2)+1/(b2b3)+...+1/[bnb(n+1)]
=1/2 -1/3+1/3-1/4+...+1/(n+1)-1/(n+2)
=1/2 -1/(n+2)
=n/[2(n+2)]
令n/[2(n+2)]=25t/51t，整理，得
tn=100t
n=100

回答（2）：

(1)求数列{an}的通项公式
a1a3=a2^2 和an＞0可得a2=2 和公比q ＞0
又2a3+2=a2+a4可得2×（q×a2）+2=a2+a2×q^2
即2×（q×2）+2=2+2×q^2 得q=2 a1=a2/q=1
an=2^(n-1)
2)若bn=log2 an+2,求满足方程1/b1b2+1/b2b3+…+1/bnbn+1=25/51的n的值
bn=log2 an+2=n+1 1/bnbn+1=1/(n+1)(n+2)= 1/(n+1)-1/(n+2)
1/b1b2+1/b2b3+…+1/bnbn+1=1/2-1/3+1/3-1/4+…1/(n+1)-1/(n+2)
=1/2-1/（n+2）=25/51 故n=100

回答（3）：

1, 设该等比数列的公比为Q
a1a3=4, an＞0,所以a2=2,
2(a3+1)=a2+a4, 所以Q=2
an=2^（n-1)
2，bn=n+1
原式=1/2*3+1/3*4+......+1/(n+1)(n+2)=25/51
n=100

回答（4）：

设等比数列an的公式为a1*q^n-1,将a2、a3、a4分别用含a1和q的式子换掉就可解出a1和q