58问答库 > 已知a>0，b>0，则1⼀a＋1⼀b＋（2倍根号ab）的最小值是多少？

已知a>0，b>0，则1⼀a＋1⼀b＋（2倍根号ab）的最小值是多少？

2024-12-11 07:22:27

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回答（1）：

解：高中不等式最值一节，使用“均值不等式”求最值的前提条件是“一正、二定、三相等”
在缺少条件的情况下，你这种问法是不合理的，可以说不存在最小值。
存在最小值的条件是 a = b =1，在这个条件下，最小值为 4.
道理如下：
1/a + 1/b + 2√(ab) (前两项通分）
= （a+b)/(ab) + 2√(ab) (根据 a+b≥2√(ab)
≥ 2√(ab)/(ab) + 2√(ab) (此步“=”成立的条件是 a=b
= 2/√(ab) + 2√(ab) （再用均值不等式
≥ 2 √ {[ 2/√(ab) ]×2√(ab) } (此步“=”成立的条件是 2/√(ab) =2√(ab) 即 ab=1
= 2√4
= 4
故 a = b =1 时，最小值为 4.

回答（2）：

解：因为a>0，b>0，由基本不等式1/a＋1/b ≥ 2√(1/ab)=2/√(ab)，同理
2/√(ab)+ 2√(ab)≥2√［ 2/√(ab)×2√(ab)］=2 √4=4，所以
1/a＋1/b＋2√(ab)≥4，即最小值为4。

回答（3）：

2/(a+b)+a+b