58问答库 > 曲线积分∫(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy,其中L为在抛物线2x=πy^2上点(0,0)到(π⼀2,1)的一段弧

曲线积分∫(2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy,其中L为在抛物线2x=πy^2上点(0,0)到(π⼀2,1)的一段弧

求积分值，运用格林公式

2025-05-13 03:48:39

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回答（1）：

P=2xy³-y²cosx，Q=1-2ysinx+3x²y²
易验证：∂Q/∂x=∂P/∂y=6xy²-2ycosx
因此本题积分与路径无关，可自选积分路线
选从(0，0)到(π/2，1)的折线，
L1：y=0，x：0--->π/2
L2：x=π/2，y：0--->1
则原积分=∫L1 (2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy
+∫L2 (2xy^3-y^2cosx)dx+(1-2ysinx+3x^2y^2)dy
=0+∫[0--->1] [1-2y+(3π²/4)y²]dy
=y-y²+(π²/4)y³ |[0--->1]
=π²/4