2011年全国考数学理科江苏卷第22题立体几何不用空间向量法而几何法怎么解决？

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，N为BC中点，M在CC1上，设二面角A1-DN-M为θ
(1)当θ=90时，求AM
(2)当cosθ=√6/6时，求CM
(1)解析：在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，N为BC中点
过A作AE⊥DN交DN于E，连接A1E
由三垂线定理知A1E⊥DN
设∠A1EA=α
在⊿A1DN中，设DE=x
A1D=√5，DN=√5/2，A1N=√(1/4+4+1)= √21/2
∴A1D^2-DE^2=A1N^2-EN^2==>5-x^2=21/4-(√5/2-x)^2==>x=√5/5
AE=√(AD^2-ED^2)=2√5/5，A1E=√(A1D^2-ED^2)= 2√30/5
∴sinα=√30/6，cosα=√6/6
过C作CF⊥DN交DN于F，连接MF
由三垂线定理知MF⊥DN
∵θ=90，∴∠MFC=180-(90+α)=90-α

在⊿CDN中，设NF=x
A1D=√5，DN=√5/2，A1N=√(1/4+4+1)= √21/2
∴CN^2-NF^2=DC^2-DF^2==>1/4-x^2=1-(√5/2-x)^2==>x=√5/10
CF=√(CN^2-NF^2)= √5/5
在⊿MCF中，tan∠MFC=tan(90-α)=cotα= cosα/ sinα=√5/5
∴MC=CF*tan(90-α)=1/5
∴AM=√(AC^2+CM^2)= √51/5
(2)解析：∵cosθ=√6/6==>tanθ=√5
与（1）同理：∠MFC=180-(θ+α)
tan∠MFC=-tan(θ+α)=-[ tanθ+tanα]/[1-tanθtanα]=(√5+√5)/(5-1)=√5/2
∴MC=CF*tan∠MFC = √5/5*√5/2=1/2

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