如图①，正方形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C，D在第一象限，点P从点A出发，沿正

专题：压轴题．

分析：（1）本题要依靠辅助线的帮助．做BF垂直y轴，求出FB、FA、AB的值；（2）由2可知，点P从点A运动到点B用了10s，求出AB的值；（3）本题有多种解法．作PG⊥y轴于G，证明△AGP∽△AFB，求出线段比．然后再求出S的面积以及抛物线的对称轴，最后求出t的最大值．

解答：解：（1）作BF⊥y轴于F．∵A（0，10），B（8，4）∴FB=8，FA=6，∴AB=10；（2分）（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10s（1分）∵AB=10∴P、Q两点的运动速度均为每秒一个单位长度；（1分）（3）解法1：作PG⊥y轴于G，则PG∥BF．∴△AGP∽△AFB∴GA
FA
＝
AP
AB
，即
GA
6
＝
t
10
．∴GA＝
3
5
t．∴OG＝10−
3
5
t．（2分）又∵OQ=4+t∴S＝
1
2
•OQ•OG＝
1
2
(t+4)(10−
3
5
t)（2分）即S＝−
3
10
t2+
19
5
t+20∵−
b
2a
＝−
19
5

2×(−3
10
)

＝
19
3
，且
19
3
在0≤t≤10内，∴当t＝
19
3
时，S有最大值．此时GP＝
4
5
t＝
76
15
，OG＝10−
3
5
t＝
31
5
，∴P(
76
15
，
31
5
)（2分）解法2：由图2，可设S=at2+bt+20，∵抛物线过（10，28）∴可再取一个点，当t=5时，计算得S＝
63
2
，∴抛物线过（5，
63
2
），代入解析式，可求得a，b．评分参照解法1；（4）这样的点P有2个．（2分）

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