【解法一】令 F（x）=f(t)dt，显然，F（0）=0．由已知条件可得，F（π）=0．
因为 0=f(x)cosxdx=cosxdF（x）=F(x)cosx+F（x）sinxdx=F（x）sinxdx，
利用积分中值定理，存在ξ∈（0，π），使得 F（ξ）sin ξ=0．注意到 sin ξ＞0，故有 F（ξ）=0．
从而，F（0）=F（ξ）=F（π）=0．
在区间[0，ξ]与[ξ，1]上分别利用罗尔定理可得，至少存在ξ1 ∈[0，ξ]，ξ2∈[ξ，1]，
使得 F′（ξ1）=F′（ξ2）=0．
即：f（ξ1）=f（ξ2）=0．
【解法二】由 f(x)dx=0 可知，存在 ξ1∈（0，π），使得 f（ξ1）=0．
否则，f（x） 在区间 （0，π） 内恒为正数或者负数，由积分的保号性可知，
f(x)dx为正数或者负数，与 f(x)dx=0 矛盾．
反设结论不成立，即：f（x）=0 在区间 （0，π）内仅有一个实根 x=ξ1．
由于 f(x)dx=0，故 f（x） 在区间 （0，ξ1）与 （ξ1，π）上异号．
不妨设 f（x） 在区间 （0，ξ1）上恒为正数，在区间 （ξ1，π）上恒为负数．
由已知条件计算可得，
0=f(x)cosxdx-cos（ξ1）f(x)dx
=f（x）（cosx-cosξ1）dx
= f（x）（cosx-cosξ1）dx+ f（x）（cosx-cosξ1）dx
=I1+I2，
因为余弦函数 cosx 在 （0，π）上为单调减函数，并注意到f（x） 在区间 （0，ξ1）上恒为正数，在区间 （ξ1，π）上恒为负数，
故有 I1＞0，I2＞0，与 I1+I2=0 矛盾．故反设不成立，即在区间 （0，π） 上，除 ξ1外，f（x）至少还有一个零点ξ2．
